椭圆的通径长公式?椭圆的通径长公式是怎样的,

椭圆的通径长公式为$\frac{2b^{2}}{a}$（$a$为椭圆的长半轴长 ，$b$为椭圆的短半轴长）。推导过程如下：

椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a \gt b \gt 0$） ，通径是过椭圆焦点且垂直于长轴的弦。

设椭圆的焦点为$F(c,0)$（$c^2 = a^2 - b^2$），当$x = c$时，代入椭圆方程$\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，可得：

$$\begin{align*} \frac{y^{2}}{b^{2}}&=1 - \frac{c^{2}}{a^{2}}\\ \frac{y^{2}}{b^{2}}&=\frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}}\\ \frac{y^{2}}{b^{2}}&=\frac{b^{2}}{a^{2}}\\ y^{2}&=\frac{b^{4}}{a^{2}}\\ y&=\pm\frac{b^{2}}{a} \end{align*}$$

则该弦的两个端点纵坐标分别为$y_1 = \frac{b^{2}}{a}$ ，$y_2 = -\frac{b^{2}}{a}$ ，所以通径长为$\vert y_1 - y_2 \vert = \vert\frac{b^{2}}{a} - (-\frac{b^{2}}{a})\vert = \frac{2b^{2}}{a}$ 。