三次方因式分解公式

三次方因式分解常用的公式有以下几个： 立方和公式 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) 例如，对 x 3 + 8 x^{3} + 8x3+8 进行因式分解，因为 8 = 2 3 8 = 2^{3}8=23，这里 a = x a = xa=x，b = 2 b = 2b=2，根据立方和公式可得： x 3 + 8 = x 3 + 2 3 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 2 2 ) = ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2)(x^{2} - 2x + 2^{2}) = (x + 2)(x^{2} - 2x + 4)x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2x+22)=(x+2)(x2−2x+4) 立方差公式 a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) 例如，分解 27 y 3 − 1 27y^{3} - 127y3−1，由于 27 y 3 = ( 3 y ) 3 27y^{3} = (3y)^{3}27y3=(3y)3，1 = 1 3 1 = 1^{3}1=13，即 a = 3 y a = 3ya=3y，b = 1 b = 1b=1，那么： 27 y 3 − 1 = ( 3 y ) 3 − 1 3 = ( 3 y − 1 ) [ ( 3 y ) 2 + 3 y × 1 + 1 2 ] = ( 3 y − 1 ) ( 9 y 2 + 3 y + 1 ) 27y^{3} - 1 = (3y)^{3} - 1^{3} = (3y - 1)[(3y)^{2} + 3y×1 + 1^{2}] = (3y - 1)(9y^{2} + 3y + 1)27y3−1=(3y)3−13=(3y−1)[(3y)2+3y×1+12]=(3y−1)(9y2+3y+1) 完全立方公式 完全立方和公式 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 例如，( m + 2 ) 3 (m + 2)^{3}(m+2)3，按照完全立方和公式展开为： m 3 + 3 × m 2 × 2 + 3 × m × 2 2 + 2 3 = m 3 + 6 m 2 + 12 m + 8 m^{3} + 3×m^{2}×2 + 3×m×2^{2} + 2^{3} = m^{3} + 6m^{2} + 12m + 8m3+3×m2×2+3×m×22+23=m3+6m2+12m+8 完全立方差公式 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 例如，( 2 x − 1 ) 3 (2x - 1)^{3}(2x−1)3，展开可得： ( 2 x ) 3 − 3 × ( 2 x ) 2 × 1 + 3 × ( 2 x ) × 1 2 − 1 3 = 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 1 (2x)^{3} - 3×(2x)^{2}×1 + 3×(2x)×1^{2} - 1^{3} = 8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1(2x)3−3×(2x)2×1+3×(2x)×12−13=8x3−12x2+6x−1