要求ln x \ln xlnx的原函数，也就是求∫ ln x d x \int \ln xdx∫lnxdx的值。
我们使用分部积分法来求解，分部积分公式为∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u dv = uv - \int v du∫udv=uv−∫vdu。
对于∫ ln x d x \int \ln xdx∫lnxdx，令 u = ln x u = \ln xu=lnx，d v = d x dv = dxdv=dx。
那么d u = 1 x d x du = \frac{1}{x}dxdu=x1dx，对d v = d x dv = dxdv=dx积分可得 v = x v = xv=x。
将以上结果代入分部积分公式可得： ∫ ln x d x = x ln x − ∫ x ⋅ 1 x d x = x ln x − ∫ 1 d x = x ln x − x + C \begin{align*} \int \ln xdx&=x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx\\ &=x\ln x - \int 1dx\\ &=x\ln x - x + C \end{align*} ∫lnxdx=xlnx−∫x⋅x1dx=xlnx−∫1dx=xlnx−x+C 其中C CC为任意常数。
所以ln x \ln xlnx的原函数是x ln x − x + C x\ln x - x + Cxlnx−x+C 。