燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形面积的重要定理，具体如下： 定理内容 在△ A B C \triangle ABC△ABC中，点D DD是B C BCBC边上任意一点，连接A D ADAD，点E EE是A D ADAD上任意一点，连接B E BEBE、C E CECE ，则有S △ A B E : S △ A C E = B D : D C S_{\triangle ABE}:S_{\triangle ACE}=BD:DCS△ABE:S△ACE=BD:DC。
其中S △ A B E S_{\triangle ABE}S△ABE表示△ A B E \triangle ABE△ABE的面积，S △ A C E S_{\triangle ACE}S△ACE表示 △ A C E \triangle ACE△ACE的面积。
证明过程 首先设△ A B E \triangle ABE△ABE的面积为S 1 S_1S1，△ A C E \triangle ACE△ACE的面积为S 2 S_2S2，△ B D E \triangle BDE△BDE的面积为S 3 S_3S3，△ C D E \triangle CDE△CDE的面积为S 4 S_4S4。
根据三角形面积公式S = 1 2 a h S = \frac{1}{2}ahS=21ah（a aa表示底边长，h hh表示这条底边对应的高）。
对于△ A B E \triangle ABE△ABE和△ B D E \triangle BDE△BDE，它们分别以A E AEAE和D E DEDE为底边时，高是相同的（都是从点B BB向直线A D ADAD作垂线的长度）。
根据三角形面积公式可得：S 1 S 3 = 1 2 A E × h 1 2 D E × h = A E D E \frac{S_1}{S_3}=\frac{\frac{1}{2}AE\times h}{\frac{1}{2}DE\times h}=\frac{AE}{DE}S3S1=21DE×h21AE×h=DEAE （h hh为△ A B E \triangle ABE△ABE和△ B D E \triangle BDE△BDE公共的高）。
同理，对于△ A C E \triangle ACE△ACE和△ C D E \triangle CDE△CDE ，它们分别以A E AEAE和D E DEDE为底边时，高也是相同的（都是从点C CC向直线A D ADAD作垂线的长度），所以S 2 S 4 = 1 2 A E × h ′ 1 2 D E × h ′ = A E D E \frac{S_2}{S_4}=\frac{\frac{1}{2}AE\times h'}{\frac{1}{2}DE\times h'}=\frac{AE}{DE}S4S2=21DE×h′21AE×h′=DEAE （h ′ h'h′为△ A C E \triangle ACE△ACE和△ C D E \triangle CDE△CDE公共的高）。
由此可知S 1 S 3 = S 2 S 4 \frac{S_1}{S_3}=\frac{S_2}{S_4}S3S1=S4S2，即S 1 × S 4 = S 2 × S 3 S_1\times S_4 = S_2\times S_3S1×S4=S2×S3。
然后求S 1 S 2 \frac{S_1}{S_2}S2S1的值： 由S 1 × S 4 = S 2 × S 3 S_1\times S_4 = S_2\times S_3S1×S4=S2×S3可得S 1 S 2 = S 3 S 4 \frac{S_1}{S_2}=\frac{S_3}{S_4}S2S1=S4S3。
而S △ A B D = S 1 + S 3 S_{\triangle ABD}=S_1 + S_3S△ABD=S1+S3，S △ A C D = S 2 + S 4 S_{\triangle ACD}=S_2 + S_4S△ACD=S2+S4，且S △ A B D S △ A C D = S 1 + S 3 S 2 + S 4 \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{S_1 + S_3}{S_2 + S_4}S△ACDS△ABD=S2+S4S1+S3。
又因为S 1 S 2 = S 3 S 4 \frac{S_1}{S_2}=\frac{S_3}{S_4}S2S1=S4S3，设S 1 S 2 = S 3 S 4 = k \frac{S_1}{S_2}=\frac{S_3}{S_4}=kS2S1=S4S3=k，则S 1 = k S 2 S_1 = kS_2S1=kS2，S 3 = k S 4 S_3 = kS_4S3=kS4。
那么S △ A B D S △ A C D = k S 2 + k S 4 S 2 + S 4 = k \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{kS_2 + kS_4}{S_2 + S_4}=kS△ACDS△ABD=S2+S4kS2+kS4=k。
同时，S △ A B D S △ A C D = 1 2 B D × h 总 1 2 D C × h 总 = B D D C \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD\times h_{总}}{\frac{1}{2}DC\times h_{总}}=\frac{BD}{DC}S△ACDS△ABD=21DC×h总21BD×h总=DCBD（h 总 h_{总}h总为△ A B C \triangle ABC△ABC中B C BCBC边上的高）。
所以S △ A B E : S △ A C E = B D : D C S_{\triangle ABE}:S_{\triangle ACE}=BD:DCS△ABE:S△ACE=BD:DC 。
燕尾定理还有如下推广： 在△ A B C \triangle ABC△ABC中，若A D ADAD、B E BEBE、C F CFCF相交于同一点O OO，则有： S △ A B O : S △ A C O = B D : D C S_{\triangle ABO}:S_{\triangle ACO}=BD:DCS△ABO:S△ACO=BD:DC； S △ A B O : S △ B C O = A F : F C S_{\triangle ABO}:S_{\triangle BCO}=AF:FCS△ABO:S△BCO=AF:FC； S △ B C O : S △ A C O = A E : E B S_{\triangle BCO}:S_{\triangle ACO}=AE:EBS△BCO:S△ACO=AE:EB 。