点乘，也叫数量积、内积，是向量运算中的一种重要运算方式，其公式在不同维度下有不同的表示形式： 二维向量 设向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) \vec{a}=(x_1,y_1)a=(x1,y1)，向量 b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec{b}=(x_2,y_2)b=(x2,y2)，那么它们的点乘公式为： a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec{a} \cdot \vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2a⋅b=x1x2+y1y2 三维向量 若向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a}=(x_1,y_1,z_1)a=(x1,y1,z1)，向量 b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)b=(x2,y2,z2)，则点乘公式为： a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 \vec{a} \cdot \vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2 一般 n nn 维向量 对于 n nn 维向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)a=(a1,a2,⋯,an) 和 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) \vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)b=(b1,b2,⋯,bn)，点乘公式为： a ⃗ ⋅ b ⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n = ∑ i = 1 n a i b i \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i = 1}^{n}a_ib_ia⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn=∑i=1naibi 基于向量模长与夹角的点乘公式 设向量 a ⃗ \vec{a}a 与向量 b ⃗ \vec{b}b 的夹角为 θ \thetaθ（0 ⩽ θ ⩽ π 0\leqslant\theta\leqslant\pi0⩽θ⩽π），那么向量点乘还可以表示为： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec{a} \cdot \vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 其中，∣ a ⃗ ∣ \vert\vec{a}\vert∣a∣ 表示向量 a ⃗ \vec{a}a 的模长（长度），∣ a ⃗ ∣ = x 1 2 + y 1 2 \vert\vec{a}\vert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}∣a∣=x12+y12（二维向量） 或 ∣ a ⃗ ∣ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 \vert\vec{a}\vert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}∣a∣=x12+y12+z12（三维向量）；∣ b ⃗ ∣ \vert\vec{b}\vert∣b∣ 同理。
这个公式揭示了向量点乘与向量模长以及它们夹角之间的关系，在解决涉及向量夹角、投影等问题时非常有用。