高一必修五数学教案（一）：正弦定理 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够理解正弦定理的内容及其证明方法。
会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
过程与方法目标 通过对实际问题的探索，培养学生观察、分析、归纳的能力。
体会数学中的转化思想，提高学生的数学思维能力。
情感态度与价值观目标 让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
在探究活动中，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点 重点 正弦定理的内容及应用。
正弦定理的推导过程。
难点 正弦定理在解三角形中的灵活应用。
正弦定理推导过程中涉及的三角函数知识的综合运用。
三、教学方法 讲授法、探究法、讨论法相结合 四、教学过程 导入新课（5分钟） 展示问题情境：如图，在河岸一侧有A、B两点，在河对岸选一点C，测得∠ACB = 60°，∠BAC = 45°，BC = 100m，如何求A、B两点间的距离？ 引导学生思考：在三角形中，已知一些边和角，如何求出其他的边和角？从而引出本节课的主题——正弦定理。
讲授新课（25分钟） 正弦定理的推导 直角三角形情况：在Rt△ABC中，∠C = 90°，根据正弦函数的定义，sinA = a c \frac{a}{c} ca，sinB = b c \frac{b}{c} cb，sinC = 1，即a sin A = b sin B = c sin C = c \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = c sinAa=sinBb=sinCc=c。
锐角三角形情况：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，CD = bsinA；在Rt△BCD中，CD = asinB，所以bsinA = asinB，即a sin A = b sin B \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} sinAa=sinBb。
同理可证b sin B = c sin C \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} sinBb=sinCc，从而得到a sin A = b sin B = c sin C \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} sinAa=sinBb=sinCc。
钝角三角形情况：课后让学生自行推导。
正弦定理的内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A = b sin B = c sin C \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} sinAa=sinBb=sinCc。
正弦定理的变形：a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC（R为△ABC外接圆半径）；sinA = a 2 R \frac{a}{2R} 2Ra，sinB = b 2 R \frac{b}{2R} 2Rb，sinC = c 2 R \frac{c}{2R} 2Rc；a : b : c = sinA : sinB : sinC。
例题讲解（15分钟） 例1：在△ABC中，已知A = 30°，B = 45°，a = 10，求b。
分析：直接应用正弦定理a sin A = b sin B \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} sinAa=sinBb求解。
解：由正弦定理得10 sin 3 0 ∘ = b sin 4 5 ∘ \frac{10}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} sin30∘10=sin45∘b，即b = 10 × sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 10 2 b = \frac{10 \times \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 10\sqrt{2} b=sin30∘10×sin45∘=102。
例2：在△ABC中，已知a = 23 \sqrt{3}3，b = 6，A = 30°，求B。
分析：同样应用正弦定理a sin A = b sin B \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} sinAa=sinBb，但要注意可能有两解。
解：由正弦定理得2 3 sin 3 0 ∘ = 6 sin B \frac{2\sqrt{3}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{6}{\sin B} sin30∘23=sinB6，解得sinB = 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23。
因为b > a，所以B > A，所以B = 60°或120°。
课堂练习（10分钟） 在△ABC中，已知A = 60°，B = 75°，c = 20，求a。
在△ABC中，已知a = 1，b = 2 \sqrt{2}2，A = 45°，求B。
学生练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
课堂小结（5分钟） 回顾正弦定理的内容、推导过程及变形。
总结正弦定理在解三角形中的应用方法和注意事项。
布置作业 课本习题[具体题号] 思考：在已知三角形两边及其中一边的对角时，解三角形的情况有哪些？ 高一必修五数学教案（二）：等差数列 一、教学目标 知识与技能目标 学生能理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。
能根据等差数列的通项公式，求出数列中的任意一项。
过程与方法目标 通过对等差数列概念的探究，培养学生观察、归纳、类比的能力。
经历等差数列通项公式的推导过程，体会方程思想和函数思想。
情感态度与价值观目标 感受数学的规律性和严谨性，培养学生的数学理性思维。
让学生在合作交流中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
二、教学重难点 重点 等差数列的概念和通项公式。
等差数列通项公式的应用。
难点 等差数列通项公式的推导过程。
理解等差数列与一次函数的关系。
三、教学方法 启发式教学法、小组合作探究法 四、教学过程 导入新课（5分钟） 展示几个数列： 1，3，5，7，9，… 2，4，6，8，10，… 5，10，15，20，25，… 引导学生观察这些数列的特点，发现从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
从而引出等差数列的概念。
讲授新课（25分钟） 等差数列的概念 给出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
强调定义中的关键词：“从第二项起”“差等于同一个常数”。
让学生举例说明等差数列，加深对概念的理解。
等差数列的通项公式推导 设等差数列{ a n } \{ a_{n} \} {an}的首项为a 1 a_{1} a1，公差为d。
引导学生通过递推的方法得出：a 2 = a 1 + d a_{2} = a_{1} + d a2=a1+d，a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2d a3=a2+d=a1+2d，a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3d a4=a3+d=a1+3d，…… 归纳出等差数列的通项公式：a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_{n} = a_{1} + (n - 1)d an=a1+(n−1)d。
再用累加法进行严格证明：a n − a n − 1 = d a_{n} - a_{n - 1} = d an−an−1=d，a n − 1 − a n − 2 = d a_{n - 1} - a_{n - 2} = d an−1−an−2=d，……，a 2 − a 1 = d a_{2} - a_{1} = d a2−a1=d，将这些式子左右两边分别相加，得到a n − a 1 = ( n − 1 ) d a_{n} - a_{1} = (n - 1)d an−a1=(n−1)d，即a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_{n} = a_{1} + (n - 1)d an=a1+(n−1)d。
通项公式的应用 讲解例1：已知等差数列{ a n } \{ a_{n} \} {an}中，a 1 = 3 a_{1} = 3 a1=3，d = 2 d = 2 d=2，求a 5 a_{5} a5。
分析：直接将a 1 = 3 a_{1} = 3 a1=3，d = 2 d = 2 d=2，n = 5 n = 5 n=5代入通项公式a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_{n} = a_{1} + (n - 1)d an=a1+(n−1)d求解。
解：a 5 = 3 + ( 5 − 1 ) × 2 = 11 a_{5} = 3 + (5 - 1)×2 = 11 a5=3+(5−1)×2=11。
例2：在等差数列{ a n } \{ a_{n} \} {an}中，已知a 3 = 9 a_{3} = 9 a3=9，a 9 = 3 a_{9} = 3 a9=3，求a 1 a_{1} a1和d d d。
分析：根据通项公式列出关于a 1 a_{1} a1和d d d的方程组，然后求解。
解：由通项公式可得{ a 1 + 2 d = 9 a 1 + 8 d = 3 \begin{cases} a_{1} + 2d = 9 \\ a_{1} + 8d = 3 \end{cases} {a1+2d=9a1+8d=3，两式相减得6 d = − 6 6d = - 6 6d=−6，解得d = − 1 d = - 1 d=−1，将d = − 1 d = - 1 d=−1代入a 1 + 2 d = 9 a_{1} + 2d = 9 a1+2d=9，得a 1 = 11 a_{1} = 11 a1=11。
课堂练习（10分钟） 已知等差数列{ a n } \{ a_{n} \} {an}中，a 1 = 5 a_{1} = 5 a1=5，d = 3 d = 3 d=3，求a 10 a_{10} a10。
在等差数列{ a n } \{ a_{n} \} {an}中，a 5 = 10 a_{5} = 10 a5=10，a 12 = 31 a_{12} = 31 a12=31，求a 1 a_{1} a1和d d d。
学生练习，教师巡视指导，及时反馈学生的练习情况。
课堂小结（5分钟） 回顾等差数列的概念、通项公式及其推导方法。
总结通项公式在求数列项、首项和公差方面的应用。
布置作业 课本习题[具体题号] 探究：等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系？ 高一必修五数学教案（三）：基本不等式 一、教学目标 知识与技能目标 学生能理解基本不等式a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab≤2a+b（a > 0 a \gt 0 a>0，b > 0 b \gt 0 b>0）的证明过程。
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
过程与方法目标 通过对基本不等式的探究，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。
体会从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标 感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点 重点 基本不等式a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab≤2a+b（a > 0 a \gt 0 a>0，b > 0 b \gt 0 b>0）的理解和应用。
利用基本不等式求最值的条件。
难点 基本不等式的证明及几何意义。
合理构造基本不等式求最值。
三、教学方法 讲授法、直观演示法、探究法相结合 四、教学过程 导入新课（5分钟） 展示问题：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。
如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。
不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b。
如何合理地表示物体的质量呢？ 引导学生思考，引出本节课要学习的基本不等式。
讲授新课（25分钟） 基本不等式的推导 首先给出重要不等式a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^{2} + b^{2} \geq 2ab a2+b2≥2ab（a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R），当且仅当a = b a = b a=b时取等号。
通过( a − b ) 2 ≥ 0 (a - b)^{2} \geq 0 (a−b)2≥0展开得到a 2 − 2 a b + b 2 ≥ 0 a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0 a2−2ab+b2≥0，进而推出a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^{2} + b^{2} \geq 2ab a2+b2≥2ab。
令x = a x = \sqrt{a} x=a（a > 0 a \gt 0 a>0），y = b y = \sqrt{b} y=b（b > 0 b \gt 0 b>0），代入重要不等式可得( a ) 2 + ( b ) 2 ≥ 2 a b (\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \geq 2\sqrt{a}\sqrt{b} (a)2+(b)2≥2ab，即a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab≤2a+b（a > 0 a \gt 0 a>0，b > 0 b \gt 0 b>0），当且仅当a = b a = b a=b时取等号。
基本不等式的几何意义 以长为a + b a + b a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC = a，CB = b。
过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB。
由射影定理可知C D = a b CD = \sqrt{ab} CD=ab，而半径R = a + b 2 R = \frac{a + b}{2} R=2a+b，显然C D ≤ R CD \leq R CD≤R，即a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab≤2a+b，直观地展示了基本不等式的几何意义。
基本不等式的应用 例1：已知x > 0 x \gt 0 x>0，求y = x + 1 x y = x + \frac{1}{x} y=x+x1的最小值。
分析：直接应用基本不等式a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab≤2a+b，这里a = x a = x a=x，b = 1 x b = \frac{1}{x} b=x1。
解：因为x > 0 x \gt 0 x>0，所以y = x + 1 x ≥ 2 x ⋅ 1 x = 2 y = x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 y=x+x1≥2x⋅x1=2，当且仅当x = 1 x x = \frac{1}{x} x=x1，即x = 1 x = 1 x=1时取等号，所以y y y的最小值为2。
例2：已知x > 0 x \gt 0 x>0，y > 0 y \gt 0 y>0，且x + y = 1 x + y = 1 x+y=1，求1 x + 1 y \frac{1}{x} + \frac{1}{y} x1+y1的最小值。
分析：将1 x + 1 y \frac{1}{x} + \frac{1}{y} x1+y1进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式。
解：1 x + 1 y = ( 1 x + 1 y ) ( x + y ) = 1 + y x + x y + 1 = 2 + y x + x y ≥ 2 + 2 y x ⋅ x y = 4 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})(x + y) = 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 = 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2 + 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = 4 x1+y1=(x1+y1)(x+y)=1+xy+yx+1=2+xy+yx≥2+2xy⋅yx=4，当且仅当y x = x y \frac{y}{x} = \frac{x}{y} xy=yx，即x = y = 1 2 x = y = \frac{1}{2} x=y=21时取等号，所以1 x + 1 y \frac{1}{x} + \frac{1}{y} x1+y1的最小值为4。
课堂练习（10分钟） 已知a > 0 a \gt 0 a>0，求a + 4 a a + \frac{4}{a} a+a4的最小值。
已知x > 0 x \gt 0 x>0，y > 0 y \gt 0 y>0，且2 x + y = 1 2x + y = 1 2x+y=1，求1 x + 1 y \frac{1}{x} + \frac{1}{y} x1+y1的最小值。
学生练习，教师巡视指导，纠正学生在应用基本不等式时出现的错误。
课堂小结（5分钟） 回顾基本不等式a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab≤2a+b（a > 0 a \gt 0 a>0，