当前位置:育儿知识大全 生活常识内容页

反函数怎么求?反函数与原函数的关系

首先看这个函数是不是单调函数,如果不是则反函数不存在。如果是单调函数,则只要把x和y互换,然后解出y即可。例如 y=x^2,x=正负根号y,则f(x)的反函数是正负根号x,求完后注意定义域和值域,反函数的定义域就是原函数的值域,反函数的值域就是原函数的定义域。

反函数怎么求?反函数与原函数的关系

求反函数先判断反函数是否存在,严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同,再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致,例如 求 y=x^2 的反函数。x=±根号y,则 f(x) 的反函数是正负根号 x,求完后注意定义域和值域,反函数的定义域就是原函数的值域,反函数的值域就是原函数的定义域。

反函数的性质:

1、单调函数必有反函数。有反函数的函数不一定是单调函数,例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) ;

2、奇函数不一定有反函数,例如 y = sin x , y = x - 1/x ;当奇函数存在反函数时,反函数一定是奇函数。

例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) 的反函数还是 y = K/x ( K ≠ 0 ) 。

3、偶函数不一定没有反函数,例如 y = 1 , x ∈ { 0 } 。

反函数怎么求?反函数与原函数的关系

反函数与原函数的关系:

1、反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域;

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线 y = x 对称 ;

3、原函数若是奇函数,则其反函数为奇函数;

4、若函数是单调函数,则一定有反函数,且反函数的单调性与原函数的一致;

5、原函数与反函数的图像若有交点,则交点一定在直线 y = x 上或关于直线 y = x 对称出现 。

反函数怎么求?反函数与原函数的关系

反函数存在定理

定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1<x2时,有y1<y2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1<x2时,有y1>y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。