x的x次方求导

要求 $y = x^x$ 的导数，可以先对等式两边取自然对数，然后再利用隐函数求导法则进行求导。

 

对$y = x^x$两边取自然对数

对 $y = x^x$ 两边取自然对数 $\ln$，得到 $\ln y = \ln(x^x)$。

根据对数运算法则 $\ln a^b = b\ln a$，所以 $\ln(x^x)=x\ln x$，即 $\ln y = x\ln x$。

 

 

对$\ln y = x\ln x$两边求导

左边对 $\ln y$ 关于 $x$ 求导，根据复合函数求导法则，$(\ln y)^\prime=\frac{1}{y}\cdot y^\prime$。

右边对 $x\ln x$ 关于 $x$ 求导，根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里 $u = x$，$v=\ln x$。

$u^\prime=(x)^\prime = 1$，$v^\prime = (\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$。

那么 $(x\ln x)^\prime = 1\times\ln x + x\times\frac{1}{x}=\ln x + 1$。

 

 

 

求出$y^\prime$

由 $\frac{1}{y}\cdot y^\prime=\ln x + 1$，可得 $y^\prime = y(\ln x + 1)$。

因为 $y = x^x$，所以将 $y = x^x$ 代回上式，得到 $y^\prime = x^x(\ln x + 1)$。

 

综上，$y = x^x$ 的导数为 $x^x(1 + \ln x)$ 。