射影定理公式是什么

射影定理，又称“欧几里德定理”，是指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。其公式如下：

设直角三角形 $ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高，则有以下三个等式：

$CD^{2}=AD\times BD$

解释：斜边上的高 $CD$ 的平方等于两直角边在斜边上射影 $AD$ 与 $BD$ 的乘积。

证明思路：通过证明 $\triangle ACD$ 与 $\triangle CBD$ 相似可得。因为 $\angle ADC = \angle CDB = 90^{\circ}$，$\angle A + \angle ACD = 90^{\circ}$，$\angle BCD + \angle ACD = 90^{\circ}$，所以 $\angle A = \angle BCD$，那么 $\triangle ACD\sim\triangle CBD$，根据相似三角形对应边成比例，可得 $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即 $CD^{2}=AD\times BD$。

 

$AC^{2}=AD\times AB$

解释：直角边 $AC$ 的平方等于它在斜边上的射影 $AD$ 与斜边 $AB$ 的乘积。

证明思路：证明 $\triangle ACD$ 与 $\triangle ABC$ 相似。由于 $\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A$ 为公共角，所以 $\triangle ACD\sim\triangle ABC$，根据相似三角形对应边成比例，有 $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即 $AC^{2}=AD\times AB$。

 

$BC^{2}=BD\times AB$

解释：直角边 $BC$ 的平方等于它在斜边上的射影 $BD$ 与斜边 $AB$ 的乘积。

证明思路：证明 $\triangle BCD$ 与 $\triangle BAC$ 相似。因为 $\angle BDC = \angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle B$ 为公共角，所以 $\triangle BCD\sim\triangle BAC$，由相似三角形对应边成比例可得 $\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，即 $BC^{2}=BD\times AB$ 。

 

射影定理在解决与直角三角形相关的几何问题，如求线段长度、证明线段比例关系等方面有广泛应用。