双曲线的焦点弦公式是?

焦点弦定义：

过双曲线焦点的直线与双曲线相交于两点，这两点间的线段叫做双曲线的焦点弦。

 

焦点弦公式推导及形式（设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt0,b\gt0)$，$F_2(c,0)$为右焦点，过$F_2$的直线斜率为$k$，与双曲线交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点）：

当直线斜率存在时：

直线方程为$y = k(x - c)$，联立双曲线方程$\begin{cases}y = k(x - c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}$，将$y = k(x - c)$代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{k^{2}(x - c)^{2}}{b^{2}} = 1$。

整理得$(b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}k^{2}cx-(a^{2}k^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}) = 0$。

若$b^{2}-a^{2}k^{2}\neq0$，由韦达定理可得$x_1 + x_2=-\frac{2a^{2}k^{2}c}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$，$x_1x_2 = -\frac{a^{2}(k^{2}c^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$。

根据弦长公式$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​，经过复杂的化简（利用$c^{2}=a^{2}+b^{2}$）可得：

当直线过双曲线右焦点且与双曲线右支相交时，$\vert AB\vert=\vert e(x_1 + x_2)-2a\vert$（$e$为双曲线离心率，$e=\frac{c}{a}$）。

当直线过双曲线右焦点且与双曲线两支都相交时，$\vert AB\vert=\vert e(x_1 + x_2)+2a\vert$。

 

 

当直线斜率不存在时（即直线垂直于$x$轴）：

过右焦点$F_2(c,0)$的直线方程为$x = c$，代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，可得$y=\pm\frac{b^{2}}{a}$，此时焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2b^{2}}{a}$ 。

 

 

对于双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt0,b\gt0)$，焦点弦公式形式类似，只是在推导过程中坐标关系有所变化。