弧长公式和扇形面积公式··

弧长公式

角度制下的弧长公式：

若圆心角$n^{\circ}$，圆的半径为$r$，那么弧长$l$的计算公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$。这里$n$表示圆心角的度数，$\pi$是圆周率，$r$为圆的半径。例如，在半径$r = 5$的圆中，圆心角$n = 60^{\circ}$，根据公式弧长$l=\frac{60\times\pi\times5}{180}=\frac{5\pi}{3}$。

 

弧度制下的弧长公式：

设圆心角的弧度数为$\alpha$（$\alpha$的正负由角的旋转方向决定，逆时针为正，顺时针为负），圆的半径为$r$，此时弧长$l = |\alpha|r$ 。例如，已知圆心角弧度数$\alpha=\frac{\pi}{3}$，半径$r = 4$，则弧长$l=\frac{\pi}{3}\times4=\frac{4\pi}{3}$。

 

扇形面积公式

基于圆心角度数的扇形面积公式：

若圆心角为$n^{\circ}$，半径为$r$，扇形面积$S$的计算公式是$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$。这个公式是通过整个圆的面积$\pi r^{2}$按照圆心角占比$\frac{n}{360}$来计算的。例如，半径$r = 6$，圆心角$n = 90^{\circ}$的扇形，其面积$S=\frac{90\times\pi\times6^{2}}{360}=9\pi$。

 

基于弧度制的扇形面积公式：

当圆心角的弧度数为$\alpha$，半径为$r$时，扇形面积$S=\frac{1}{2}|\alpha|r^{2}$ 。另外，由于$l = |\alpha|r$，该公式还可以写成$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长）。比如，已知扇形弧长$l = 8$，半径$r = 5$，根据$S=\frac{1}{2}lr$，可得扇形面积$S=\frac{1}{2}\times8\times5 = 20$。