行列式有什么计算方法呢?

行列式的计算方法有多种，以下是一些常见的方法：

二阶、三阶行列式的对角线法则

二阶行列式：对于二阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$

​a11​a21​​a12​a22​​

​，其值等于主对角线元素之积减去副对角线元素之积，即$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$。

三阶行列式：对于三阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$

​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​

​ ，计算方法为：

把行列式的第一、第二列重复写在右边，然后从左上角到右下角三个元素相乘并求和，再减去从右上角到左下角三个元素相乘并求和。

即$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$ 。

 

利用行列式的性质化简计算

性质列举：

交换行列式的两行（列），行列式的值变号。

若行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个数$k$，则行列式的值等于原来的行列式乘以$k$。

若行列式某一行（列）的元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式之和。

把行列式某一行（列）的各元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

 

计算思路：通过这些性质将行列式化为上三角行列式（主对角线下方元素全为零）或下三角行列式（主对角线上方元素全为零），而上（下）三角行列式的值等于主对角线元素之积。

按行（列）展开法则

余子式与代数余子式：在$n$阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n - 1$阶行列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，$A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。

展开法则：$n$阶行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​

​等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}$（按第$i$行展开），或$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}$（按第$j$列展开）。

拉普拉斯定理

定义：在$n$阶行列式$D$中，任意取定$k$行（列）（$1\leq k\leq n - 1$），由这$k$行（列）元素所构成的一切$k$阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式$D$的值。

应用场景：当行列式中有较多零元素，且这些零元素分布比较规则时，使用拉普拉斯定理可以简化计算。

利用特征值计算

原理：对于$n$阶方阵$A$，其行列式$\vert A\vert$等于它的$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$的乘积，即$\vert A\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ 。

步骤：先求出矩阵$A$的特征多项式$f(\lambda)=\vert\lambda E - A\vert$（其中$E$为单位矩阵），再求解特征方程$f(\lambda)=0$得到特征值，最后计算特征值的乘积得到行列式的值。