等比数列公式

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母$q$表示（$q\neq0$）。以下是等比数列的相关公式：

通项公式：$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$

$a_{n}$表示等比数列的第$n$项；

$a_{1}$为首项；

$q$为公比；

$n$为项数。

例如，已知等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$q = 3$，求其第$4$项$a_{4}$。根据通项公式可得$a_{4}=a_{1}q^{4 - 1}=2×3^{3}=2×27 = 54$。

 

前$n$项和公式

当$q\neq1$时 ，$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$ 或$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$

当$q = 1$时，$S_{n}=na_{1}$

$S_{n}$表示等比数列的前$n$项和。

例如，对于等比数列$\{ a_{n}\}$，$a_{1}=1$，$q = 2$，$n = 5$。由于$q\neq1$，根据$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$可得$S_{5}=\frac{1×(1 - 2^{5})}{1 - 2}=\frac{1 - 32}{ - 1}=31$ 。若此数列$q = 1$，那么$S_{5}=5×1 = 5$。

 

等比中项公式：如果$a$，$G$，$b$成等比数列，则$G$叫做$a$与$b$的等比中项，且$G^{2}=ab$，即$G=\pm\sqrt{ab}$

​（$ab>0$）。例如，$2$与$8$的等比中项$G$满足$G^{2}=2×8 = 16$，则$G=\pm4$ 。