换底公式怎么推导的

对数定义回顾

若$a^x = N$（$a＞0$且$a≠1$），那么$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x = \log_aN$。

 

换底公式推导过程

设$\log_aN = x$（$a＞0$且$a≠1$，$N＞0$），根据对数与指数的关系，由$\log_aN = x$可得$a^x = N$ 。

两边同时取以$m$（$m＞0$且$m≠1$）为底的对数，得到$\log_m(a^x)=\log_mN$。

根据对数的运算性质$\log_m(a^x)=x\log_ma$（对数运算法则：$\log_aM^n = n\log_aM$），所以$x\log_ma=\log_mN$。

因为$\log_ma\neq0$（$m＞0$且$m≠1$，$a＞0$且$a≠1$），那么$x = \frac{\log_mN}{\log_ma}$。

又因为前面设$x = \log_aN$，所以就得到了换底公式$\log_aN=\frac{\log_mN}{\log_ma}$ 。

 

换底公式在对数的计算和化简中非常实用，它可以将不同底数的对数转化为相同底数的对数进行运算。例如，在计算$\log_25$时，如果需要用常用对数（以$10$为底）来表示，就可以利用换底公式$\log_25=\frac{\lg5}{\lg2}$ 。