二次函数的性质是什么?

二次函数的一般式为$y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq0$），它有以下重要性质：

图象特征

形状：二次函数的图象是一条抛物线。当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄；$\vert a\vert$越小，抛物线的开口越宽。

对称轴：抛物线的对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$。对称轴将抛物线分成两部分，这两部分关于对称轴对称 。

顶点坐标：把$x = -\frac{b}{2a}$代入二次函数$y = ax^{2} + bx + c$中，可求得顶点的纵坐标为$y = \frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以顶点坐标是$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$ 。顶点是抛物线的最值点，当$a\gt0$时，顶点是抛物线的最低点，函数在该点取得最小值；当$a\lt0$时，顶点是抛物线的最高点，函数在该点取得最大值。

函数的增减性

当$a\gt0$时：

在对称轴左侧，即$x \lt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；

在对称轴右侧，即$x \gt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。

 

当$a\lt0$时：

在对称轴左侧，即$x \lt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；

在对称轴右侧，即$x \gt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。

 

与坐标轴的交点

与$y$轴的交点：令$x = 0$，代入二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，可得$y = c$，所以二次函数与$y$轴的交点坐标为$(0, c)$。

与$x$轴的交点：令$y = 0$，即$ax^{2} + bx + c = 0$，根据一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$的值来确定与$x$轴交点的个数：

当$\Delta \gt 0$时，方程$ax^{2} + bx + c = 0$有两个不同的实数根，二次函数的图象与$x$轴有两个交点；

当$\Delta = 0$时，方程$ax^{2} + bx + c = 0$有两个相同的实数根（即一个实数根），二次函数的图象与$x$轴有一个交点；

当$\Delta \lt 0$时，方程$ax^{2} + bx + c = 0$没有实数根，二次函数的图象与$x$轴没有交点。

 

函数值的特点

当$x = 1$时，$y = a + b + c$；当$x = -1$时，$y = a - b + c$。通过这两个特殊点的函数值，可以帮助分析和比较二次函数的一些性质。例如，比较$a + b + c$与$a - b + c$的大小，能判断$b$的正负情况等。