正四面体的体积公式及推导

正四面体体积公式

设正四面体的棱长为$a$，其体积公式为$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$

​​a3。

 

推导过程

方法一：补形法（将正四面体补成正方体）

设正四面体$ABCD$的棱长为$a$。我们可以把正四面体补成一个正方体。

假设正方体的棱长为$x$。观察可知，正四面体的棱是正方体面上的对角线。根据正方体面对角线长度与棱长的关系，若正方体棱长为$x$，则面对角线长为$\sqrt{2}x$

​x。因为正四面体棱长$a$等于正方体的面对角线长，即$a = \sqrt{2}x$

​x，所以可得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

​​a。

正方体的体积$V_{正方体}=x^{3}=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{3}=\frac{\sqrt{2}}{4}a^{3}$

​​a)3=42

​​a3。

而正四面体的体积是正方体体积的$\frac{1}{3}$（这是通过空间几何关系分析得到的，正四面体的四个顶点分别是正方体六个面中不相邻的四个面的中心，经过计算可以得出正四面体体积占正方体体积的比例关系）。

那么正四面体的体积$V = \frac{1}{3}V_{正方体}=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{4}a^{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$

​​a3=122

​​a3 。

 

方法二：利用三棱锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高）

求正四面体的底面积$S$：

正四面体的底面是正三角形，若正三角形边长为$a$，根据正三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2（该公式推导：正三角形面积$S = \frac{1}{2}\times$底$\times$高，正三角形高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

​​a，所以$S=\frac{1}{2}\times a\times\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a=43

​​a2），所以正四面体的底面积$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2。

 

求正四面体的高$h$：

先求正四面体底面三角形的中心到底面顶点的距离$r$。对于正三角形，中心到底面顶点的距离$r$与边长$a$的关系为$r = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a（这是正三角形的一个几何性质，可通过重心相关知识推导）。

设正四面体的高为$h$，根据勾股定理，在由正四面体的高、侧棱以及底面中心到底面顶点的连线构成的直角三角形中，已知侧棱长为$a$，底面中心到底面顶点的距离为$r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a。

由勾股定理$h=\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{1}{3}a^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

​​a)2

​=a2−31​a2

​=32​

​a=36

​​a。

 

计算正四面体体积$V$：

把底面积$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2和高$h=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

​​a代入三棱锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，可得$V=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\times\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$

​​a2×36

​​a=122

​​a3。

 

 

 

综上，正四面体体积公式为$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$

​​a3 。