函数f(x)=lnx的导数是什么?

函数$f(x)=\ln x$的导数是$f^\prime(x)=\frac{1}{x}$，$(x>0)$。以下为你介绍推导过程：

利用导数定义求导：

导数的定义为函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。

对于$f(x)=\ln x$，$f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x}$。

根据对数运算法则$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，则$f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\ln\frac{x + \Delta x}{x}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}$。

令$t = \frac{\Delta x}{x}$，当$\Delta x \to 0$时，$t \to 0$，此时$\Delta x = xt$，那么$f^\prime(x)=\lim\limits_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{xt}$。

又因为重要极限$\lim\limits_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t}=1$，所以$f^\prime(x)=\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln(1 + t)}{t}=\frac{1}{x}$ 。

 

利用反函数求导法则求导：

已知$y = \ln x$，它的反函数是$x = e^y$。

对$x = e^y$求导，根据指数函数求导公式$(e^y)^\prime = e^y$。

由反函数求导法则：如果$x = \varphi(y)$在某区间内单调、可导且$\varphi^\prime(y) \neq 0$，那么它的反函数$y = f(x)$在对应区间内也可导，且$f^\prime(x)=\frac{1}{\varphi^\prime(y)}$。

对于$y = \ln x$和$x = e^y$，$\varphi(y)=e^y$，$\varphi^\prime(y)=e^y$，将$y = \ln x$代回，则$f^\prime(x)=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$。