sin1度,有什么公式算出

计算$\sin1^{\circ}$的值可以利用三角函数的两角差公式以及特殊角的三角函数值来逐步推导。

我们知道$1^{\circ}=30^{\circ} - 29^{\circ}$，不过这种方式计算较为复杂。更常用的是利用三倍角公式结合数值解法，下面先通过三角函数公式精确推导：

利用三倍角公式

根据三角函数的三倍角公式$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha$

令$\alpha = 1^{\circ}$，则$\sin3^{\circ}=3\sin1^{\circ}-4\sin^{3}1^{\circ}$

我们知道$\sin3^{\circ}$可以通过$\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$来计算，即$\sin3^{\circ}=\sin(1^{\circ}+ 2^{\circ})=\sin1^{\circ}\cos2^{\circ}+\cos1^{\circ}\sin2^{\circ}$

又$\sin2^{\circ} = 2\sin1^{\circ}\cos1^{\circ}$，$\cos2^{\circ}=1 - 2\sin^{2}1^{\circ}$

将$\sin2^{\circ}$和$\cos2^{\circ}$代入$\sin3^{\circ}=\sin1^{\circ}\cos2^{\circ}+\cos1^{\circ}\sin2^{\circ}$可得：

$\sin3^{\circ}=\sin1^{\circ}(1 - 2\sin^{2}1^{\circ})+2\sin1^{\circ}\cos^{2}1^{\circ}=\sin1^{\circ}(1 - 2\sin^{2}1^{\circ})+2\sin1^{\circ}(1-\sin^{2}1^{\circ})$

$=\sin1^{\circ}- 2\sin^{3}1^{\circ}+2\sin1^{\circ}-2\sin^{3}1^{\circ}=3\sin1^{\circ}-4\sin^{3}1^{\circ}$

已知$\sin3^{\circ}\approx0.0523$

设$x = \sin1^{\circ}$，则方程变为$4x^{3}-3x + 0.0523=0$

这是一个一元三次方程，对于一元三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$ ，可以使用卡尔丹公式求解，但过程非常繁琐。

数值解法（泰勒级数展开）

正弦函数的泰勒级数展开式为：

$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots$

其中$x$需用弧度制表示，因为$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$弧度

将$x = \frac{\pi}{180}$代入上式得：

$\sin1^{\circ}=\sin\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{180}-\frac{(\frac{\pi}{180})^{3}}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{180})^{5}}{5!}-\frac{(\frac{\pi}{180})^{7}}{7!}+\cdots$

取前几项就能得到一个较为精确的近似值：

$\sin1^{\circ}\approx\frac{\pi}{180}\approx 0.0175$ （只取了第一项，如果多取几项会更精确）

一般情况下，直接使用计算器可以快速得到$\sin1^{\circ}\approx0.0174524$