一元二次方程的通用求根公式是对于形如 a x 2 + b x + c = 0 ax^{2}+bx + c = 0ax2+bx+c=0（a ≠ 0 a\neq0a=0） 的方程，其解为 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac。
以下是详细推导过程： 对于一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^{2}+bx + c = 0ax2+bx+c=0（a ≠ 0 a\neq0a=0），首先将方程两边同时除以 a aa，得到 x 2 + b a x + c a = 0 x^{2}+\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0x2+abx+ac=0。
移项可得 x 2 + b a x = − c a x^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}x2+abx=−ac。
配方：在等式左边加上一次项系数一半的平方，即 ( b 2 a ) 2 (\frac{b}{2a})^{2}(2ab)2，同时等式右边也加上 ( b 2 a ) 2 (\frac{b}{2a})^{2}(2ab)2，得到： x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}x2+abx+(2ab)2=(2ab)2−ac。
根据完全平方公式 ( m + n ) 2 = m 2 + 2 m n + n 2 (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2(m+n)2=m2+2mn+n2，这里 m = x m = xm=x，n = b 2 a n = \frac{b}{2a}n=2ab，则左边可化为 ( x + b 2 a ) 2 (x+\frac{b}{2a})^{2}(x+2ab)2。
右边通分计算：( b 2 a ) 2 − c a = b 2 4 a 2 − 4 a c 4 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 (\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}(2ab)2−ac=4a2b2−4a24ac=4a2b2−4ac。
此时方程变为 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 (x + \frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}(x+2ab)2=4a2b2−4ac。
开平方： 当 b 2 − 4 a c ≥ 0 b^{2}-4ac\geq0b2−4ac≥0 时，x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 4 a 2 = ± b 2 − 4 a c 2 a x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x+2ab=±4a2b2−4ac=±2ab2−4ac。
然后移项可得 x = − b 2 a ± b 2 − 4 a c 2 a = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x=−2ab±2ab2−4ac=2a−b±b2−4ac。
这个公式中，Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^{2}-4acΔ=b2−4ac 被称为判别式： 当 Δ > 0 \Delta\gt0Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根。
当 Δ = 0 \Delta = 0Δ=0 时，方程有两个相等的实数根，即 x 1 = x 2 = − b 2 a x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}x1=x2=−2ab。
当 Δ < 0 \Delta\lt0Δ<0 时，方程在实数范围内没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根，形式为 x = − b ± i 4 a c − b 2 2 a x=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^{2}}}{2a}x=2a−b±i4ac−b2（i ii 为虚数单位，i 2 = − 1 i^{2}=-1i2=−1 ） 。