求倾斜角的公式要方程

已知直线斜率$k$求倾斜角$\alpha$

直线倾斜角$\alpha$与斜率$k$的关系为$k = \tan\alpha$，其中$\alpha\in[0,\pi)$。

那么由斜率$k$求倾斜角$\alpha$的公式为$\alpha=\begin{cases}\arctan k, & k\geqslant0 \\ \pi + \arctan k, & k<0\end{cases}$。例如，已知直线斜率$k = 1$，因为$k = 1>0$，则倾斜角$\alpha=\arctan1=\frac{\pi}{4}$；若直线斜率$k=-1$，由于$k = - 1<0$，则倾斜角$\alpha=\pi+\arctan(-1)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$。

 

已知直线上两点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$（$x_1\neq x_2$）求倾斜角$\alpha$

先根据两点间斜率公式求出直线斜率$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。

再按照上述由斜率求倾斜角的公式$\alpha=\begin{cases}\arctan(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}), & \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\geqslant0 \\ \pi+\arctan(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}), & \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}<0\end{cases}$来计算倾斜角$\alpha$。例如，已知直线上两点$(1,2)$，$(3,4)$，则斜率$k=\frac{4 - 2}{3 - 1}=1$，进而倾斜角$\alpha=\arctan1=\frac{\pi}{4}$ 。

 

已知直线的一般式方程$Ax + By + C = 0$（$B\neq0$）求倾斜角$\alpha$

先将直线一般式方程转化为斜截式$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$，此时直线斜率$k = -\frac{A}{B}$。

然后根据$\alpha=\begin{cases}\arctan(-\frac{A}{B}), & -\frac{A}{B}\geqslant0 \\ \pi+\arctan(-\frac{A}{B}), & -\frac{A}{B}<0\end{cases}$来确定倾斜角$\alpha$。例如，对于直线方程$2x - 3y + 4 = 0$，转化为斜截式得$y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$，斜率$k=\frac{2}{3}>0$，则倾斜角$\alpha=\arctan\frac{2}{3}$。