黄金分割的三个公式是什么?

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。以下是三个常见的黄金分割公式：

基本比例公式

若点$C$把线段$AB$分成两条线段$AC$和$BC (AC > BC)$，当$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$时，称线段$AB$被点$C$黄金分割，点$C$叫做线段$AB$的黄金分割点，$AC$与$AB$的比称为黄金比 。这个比例关系可以表示为$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$

​−1​≈0.618。

推导过程：设$AB = a$，$AC = x$，则$BC = a - x$。由$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$可得$\frac{x}{a}=\frac{a - x}{x}$，即$x^{2}=a(a - x)$，展开得到$x^{2}+ax - a^{2}=0$ 。这是一个关于$x$的一元二次方程，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

​​（这里$a = 1$，$b = a$，$c = -a^{2}$），解得$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^{2}+4a^{2}}}{2}=\frac{-a\pm\sqrt{5}a}{2}$

​​=2−a±5

​a​。因为线段长度不能为负，所以舍去$x=\frac{-a - \sqrt{5}a}{2}$

​a​，得到$x=\frac{-a + \sqrt{5}a}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$

​a​=25

​−1​a，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

​−1​。

 

已知线段全长求较长部分长度公式

如果已知线段$AB$的长度为$L$，要求其黄金分割点$C$ （$AC>BC$ ）对应的较长线段$AC$的长度，可以使用公式$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}L$

​−1​L。例如，已知线段$AB$长度为$10$，则较长部分$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\times10 = 5(\sqrt{5}-1)\approx 5\times(2.236 - 1)=5\times1.236 = 6.18$

​−1​×10=5(5

​−1)≈5×(2.236−1)=5×1.236=6.18。

 

已知较长部分长度求线段全长公式

若已知较长线段$AC$的长度为$m$，设线段$AB$全长为$x$，根据$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

​−1​，变形可得$x=\frac{2m}{\sqrt{5}-1}$

​−12m​，进一步分母有理化后得到$x=\frac{2m(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}m$

​−1)(5

​+1)2m(5

​+1)​=25

​+1​m 。例如，已知较长部分$AC$长度为$6.18$，则线段全长$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\times6.18\approx\frac{2.236 + 1}{2}\times6.18 = 1.618\times6.18 = 10$

​+1​×6.18≈22.236+1​×6.18=1.618×6.18=10 。