五边形的面积公式

五边形面积公式的计算方法因已知条件而异，以下介绍几种常见情况：

正五边形面积公式

设正五边形的边长为$a$，其面积公式为：
$A = \frac{1}{4}\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})}a^{2}$

​)

​a2
推导过程相对复杂，通常借助三角函数等知识。先将正五边形分割成五个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为$\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$，底角为$\frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2}=54^{\circ}$ 。通过三角函数求出等腰三角形的高，进而求出一个等腰三角形的面积，再乘以$5$就得到正五边形的面积。

已知顶点坐标求任意五边形面积（适用于平面直角坐标系中的五边形）

若五边形的五个顶点坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，$(x_4,y_4)$，$(x_5,y_5)$，可以使用鞋带公式（高斯面积公式）来计算其面积：
$A=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}x_2&y_2\\x_3&y_3\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}x_3&y_3\\x_4&y_4\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}x_4&y_4\\x_5&y_5\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}x_5&y_5\\x_1&y_1\end{array}\right|$

​x1​x2​​y1​y2​​

​+21​

​x2​x3​​y2​y3​​

​+21​

​x3​x4​​y3​y4​​

​+21​

​x4​x5​​y4​y5​​

​+21​

​x5​x1​​y5​y1​​

​
这里二阶行列式$\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right| = ad - bc$

​ac​bd​

​=ad−bc。

分割法求任意五边形面积

对于不规则五边形，通常采用分割法，将五边形分割为三角形、四边形等易于计算面积的图形，然后分别计算这些图形的面积，最后将它们的面积相加，从而得到五边形的总面积。例如，连接五边形的一条对角线，将五边形分成一个三角形和一个四边形，分别计算三角形和四边形的面积后求和。