勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一。在初中的数学课程中，大家都是学过的。其实勾股定理有很多种方式证明哦，下面小编就整理了勾股定理16种经典证明方法，经典不容错过哦！
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a+b+4x1/2ab=c+4x1/2ab， 整理得a+b=c。
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.
又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b).
∴(a+b)=4x1/2ab+c
∴ a+b=c。
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90o.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a).
∴(b-a)=4x1/2ab+c
∴ a+b=c。
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b).
∴1/2(a+b)=2x1/2ab+1/2c
∴ a+b=c。
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
a+b=S+2x1/2ab,
c=S+2x1/2ab
∴a+b=c.
证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L. K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面积等于2，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =a
同理可证，矩形MLEB的面积 =b.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ c=a+b 。
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，
∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即 AC=ADXAB.
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC=BDxAB.
∴ AC+BC=(AD+DB)xAB=AB，即 a+b=c、
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，
∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，
∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
c=S+S+S+S+S ①
∵ S+S+S=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b-1/2ab
S=S+S
∴S+S=b-1/2ab-S=b-S-S ②
把②代入①，得
C=S+S+b-S-S+S+S
=b+S+S=b+a
∴ a+b=c.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，
BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠
∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90o，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S=S.
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE
= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S=S.
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S=S.
C=S+S+S+S+S, a=S+S b=S+S+S，
又∵ S=S，S=S，S=S，
∴a+b=S+S+S+S+S
=S+S+S+S+S
=c，
即 a+b=c.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在 RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AC=AExAD
=(AB+BE)(AB-BD)
=(c+a)(c-a)
= c-a，
即b=c-a，∴ a+b=c.
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
ABxDC=ADxBC+ACxBD，
∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b，
∴ AB=BC+AC，即 c=a+b.
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)
= CE+CD= r + r = 2r,
即 a+b-c=2r，
∴ a+b=2r+c.
∴(a+b)=(2r+c)
即a+b+2ab=4(r+rc)+c
∵ S△ABE=1/2ab，
∴ 2ab=4S△ABE，
又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r
=1/2(2r+c+c)r=r+rc，
∴4(r+rc)=4S△ABC，
∴4(r+rc= 2ab
∴a+b+2ab=2ab+c，
∴ a+b=c.
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设a+b不等于c.，即假设 AC+BC不等于AB，则由 AB=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD
22可知 AC不等于ABxAD，或者 BC不等于ABxBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90o，
∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC+BC=AB的假设不能成立.
∴ a+b=c
【证法15】（辛卜松证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
(a+b)=a+b+2ab；
把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分，则正方形ABCD的面积为
∴ (a+b)=4x1/2ab+c=2ab+c,
∴ a+b+2ab=2ab+c.
∴a+b=c.
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴(b+a) DM = EM―ED = (b+a)―a = b.
又∵ ∠CMD = 90o，CM = a， ∠AED = 90o， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o， M∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，
∴ ∠ADC = 90o.
∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，
∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.
∴ 点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG .
∵c=S+S+S+S b=S+S+S a=S+S
S=S=S=S+S，
∴a+b=S+S+S+S+S
=S+S+S+(S+S)
=S+S+S+S
=c
∴ a+b=c.
