怎么计算黄金分割点,是多少?

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是 0.618。

计算黄金分割点的方法有多种，以下为您介绍常见的两种：

已知线段长度求黄金分割点

假设线段长度为 $AB = a$，在线段 $AB$ 上找一点 $C$，使得 $AC > CB$，且满足 $\frac{AC}{AB} = \frac{CB}{AC}$。设 $AC = x$，则 $CB = a - x$，代入上述等式可得：

$$\begin{align*} \frac{x}{a}&=\frac{a - x}{x}\\ x^2&=a(a - x)\\ x^2 + ax - a^2&=0 \end{align*}$$

这是一个关于 $x$ 的一元二次方程，根据求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​（其中 $a = 1$，$b = a$，$c = -a^2$），可得：

$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4\times1\times(-a^2)}}{2\times1} = \frac{-a \pm \sqrt{5}a}{2}$

​​=2−a±5

​a​

因为线段长度不能为负，所以舍去 $x = \frac{-a - \sqrt{5}a}{2}$

​a​，得到 $x = \frac{-a + \sqrt{5}a}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}a \approx 0.618a$

​a​=25

​−1​a≈0.618a。

即较长部分 $AC$ 的长度约为线段 $AB$ 长度的 $0.618$ 倍，这个点 $C$ 就是线段 $AB$ 的一个黄金分割点。另一个黄金分割点在线段 $AB$ 的延长线上，计算方法类似。

利用比例关系迭代计算

从一个初始值开始，利用黄金分割的比例关系进行迭代计算。例如，设初始值 $x_0 = 1$，按照以下迭代公式计算：

$x_{n + 1} = 1 + \frac{1}{x_n}$

重复这个过程，随着 $n$ 的增大，$x_n$ 会趋近于黄金分割比 $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$

​​≈1.618，其倒数 $\frac{1}{\varphi} \approx 0.618$ 就是我们常用的黄金分割点比例值。

例如：

$x_0 = 1$

$x_1 = 1 + \frac{1}{1} = 2$

$x_2 = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$

$x_3 = 1 + \frac{1}{1.5} \approx 1.667$

$x_4 = 1 + \frac{1}{1.667} \approx 1.6$

$x_5 = 1 + \frac{1}{1.6} = 1.625$

......

经过多次迭代后，数值会越来越接近 $1.618$ 。